Les fiches techniques

Fiche n°5 : l’approche "APV"

Le coût du capital implicite est calculé dans un premier temps selon une approche « APV », soit à dette nulle, avant que ne soit établi le coût des fonds propres avec levier. Cette approche permet d'isoler la prime de risque MEDAF et les primes de taille.
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The "Adjusted Present Value" approach takes into account leverage, not by correcting the discount rate, but by adjusting cash flow. We use this approach as an intermediate step to calculate the cost of capital with leverage and isolate the risk and size premia.

DCF par l'approche APV : définition

Parmi les multiples formalisations existantes de l'APV, nous retenons celle qui nous semble être la seule cohérente avec le modèle le plus répandu d'estimation de l'effet de levier sur le risque systématique, i.e. le modèle d'Hamada :
 
L'endettement tend à accroître le risque systématique du rendement des fonds propres. Nous devons à Robert Hamada (1972) la formalisation la plus utilisée par les professionnels de l'évaluation du lien théorique entre dette et bêta :
βL désigne le bêta de la société endettée, βU celui de la même société sans dette financière (unlevered), DN le montant de la dette financière nette, E la valeur de marché des fonds propres et Tx le taux de déductibilité des intérêts de la dette.
 
Bien que cette approche présente certaines limites théoriques, nous la considérons comme une approximation acceptable de l'effet de levier sur le risque systématique compte tenu de sa simplicité et de son utilisation très répandue (le risque de défaut étant par ailleurs intégré dans notre modèle).
 
L'interprétation formelle de la formule d'Hamada en termes d'APV est due à Pablo Fernandez. Cette approche suppose que le levier d'endettement d'une société est géré par les entreprises en fonction de la valeur comptable de leurs actifs (prix de revient et durée d'utilisation) et non pas en fonction de la valeur de marché de leurs fonds propres. Par cette approche, les cash flows ajustés selon l'APV sont actualisés au coût des fonds propres à dette nulle, kU, en déduisant le bêta à dette nulle du bêta observé en bourse selon la formule n° 1.
 
Il est ainsi équivalent d'actualiser au coût des fonds propres avec levier, kL, un cash flow libre pour l'actionnaire,  ECF (equity cash flow), ou d'actualiser au coût des fonds propres à dette nulle, kU, un cash flow à dette nulle,  FCF (firm cash flow), ajusté du bouclier fiscal, TS, (tax shield) et du coût systématique du levier,  SCL (systematic cost of leverage).
 
Si l'on pose que la valeur d'entreprise à dette nulle VEU s'obtient par le calcul suivant :
 
Alors selon l'approche APV, la valeur d'entreprise avec levier d'endettement se calcule comme suit :
 
DN désigne l'endettement net, Tx  le taux de déductibilité des intérêts d'emprunt,  kD le coût de la dette et rf le taux sans risque.
 
Pour rappel, le cash flow à dette nulle,  FCF (aussi qualifié de cash flow d'exploitation) est égal à :
 
Où  EBE désigne l'excédent brut d'exploitation, IS, l'impôt sur les sociétés, Inv, les investissements nets des produits de cession d'immobilisations et ΔBFR, la variation du besoin en fonds de roulement.

Déduction de la prime MEDAF

Au niveau agrégé du marché[1], le coût des fonds propres à dette nulle est égal à :
 
βU  désigne le bêta à dette nulle du marché, ΠR, la prime de risque MEDAF, Πd, la prime de risque de défaut pour les actions, ΠO, la prime pour biais d'optimisme, et rf le taux sans risque[2].
 
Par ailleurs, le spread de crédit moyen du marché, SC, est décomposé de la façon suivante :
 
βD désigne le bêta moyen pondéré théorique des dettes des sociétés de notre échantillon, ΠdD, la prime de risque de défaut des emprunts corporate et ΠA, la prime additionnelle des emprunts corporate notés AAA comparés aux emprunts d'Etat de mêmes notation et durée.
 
En désignant par P le taux de perte des créanciers-prêteurs en cas de défaut, nous posons que celui-ci est de 100 % pour l'actionnaire :
 
 
D'après les équations n°1, n°4, n°5 et n°6, nous déduisons l'expression de la prime de risque MEDAF,  ΠR :
 
ΠEU est la prime de marché à dette nulle i.e. kU - rf .
 
Ce résultat suppose de notre part l'estimation préalable du spread de crédit des sociétés de notre échantillon, du taux de récupération des créances, du bêta de la dette et de la prime de biais optimiste.

Passage du kU au kL du marché

La prime de risque du marché avec levier d'endettement (ou « écart »), se déduit des résultats précédents :
 
 
Il est rappelé que la prime de marché avec levier est égale à l'écart entre le coût des fonds propres (avec levier) exigé en moyenne (pondéré par les capitalisations) et le taux sans risque[3] :
 

Déduction des primes de taille

Connaissant le coût du capital à dette nulle du marché tel qu'exprimé selon l'équation n°4, et en désignant par kU,i celui d'un des quantiles de taille parmi lesquels nous répartissons les sociétés de notre échantillon :
 
Avec ΠL,i désignant la prime de taille et βU,i le bêta à dette nulle relatif au quantile.
 
Alors, d'après les équations n°4 et n°10, on déduit l'expression de la prime de taille du quantile :
 
 

[1] Moyenne pondérée par les capitalisations.
[2] Ces termes étant définis dans les fiches techniques n°0, n° 2 et n° 3.
[3] Cf. fiche technique n° 3.
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